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  • Multiplicité d’une racine - Ordre d’une racine

    Formulaire de report

    Définition :
    Soit \(\alpha\in{\Bbb K}\) une racine de \(P\in{\Bbb K[X]}\)
    Le plus grand entier \(m\) tq \((X-\alpha)^m\) divise \(P\) est appelé la multiplicité de la racine \(\alpha\)

    Définition :
    \(\alpha\) est une racine de multiplicité \(m\geqslant1\) si \((X-\alpha)^m\) divise \(P\) mais \((X-\alpha)^{m+1}\) ne divise pas \(P\)

    (Racine, Division de polynômes)

    Corollaire :
    Une racine \(\alpha\) d'un polynôme \(P\) est de multiplicité \(m\) si et seulement s'il existe un polynôme \(Q\in{\Bbb K[X]}\) tq $${{P=(X-\alpha)^mQ}}\quad\text{ et }\quad {{Q(\alpha)\neq0}}$$

    (Racine, Division de polynômes)

    Démonstration :


    Racine simple, Racine double, Racine triple, Racine multiple
    Lemme :
    Soit \(m\in{\Bbb N}^\star\) et \(P\in{\Bbb K[X]}\)
    Soit \(\alpha\in{\Bbb K}\)
    Si \(\alpha\) est une racine de multiplicité \(m\) de \(P\) et \(m\geqslant2\), alors \(\alpha\) est une racine de multiplicité \(m-1\) de \(P'\)

    Lemme :
    Soit \(m\in{\Bbb N}^\star\) et \(P\in{\Bbb K[X]}\)
    Soit \(\alpha\in{\Bbb K}\)
    Si \(\alpha\) est une racine de multiplicité \(m\) de \(P\) et \(m=1\), alors \(\alpha\) n'est pas une racine de \(P'\)

    (Racine, Polynôme dérivé)

    Démonstration :



    Théorème :
    Soient \(P\in{\Bbb K[X]}\) un polynôme, \(\alpha\in{\Bbb K}\) un scalaire et \(m\in{\Bbb N}^\star\)
    Alors \(\alpha\) est une racine de \(P\) de multiplicité \(m\) si et seulement si $$P(\alpha)=P'(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\quad\text{ et }\quad P^{(m)}(\alpha)\neq0$$

    Démonstration :





    Théorème :
    Soient \(P\in{\Bbb K[X]}\) un polynôme et \(\alpha_1,\ldots,\alpha_r\in{\Bbb K}\) des racines distinctes de \(P\) de multiplicité respective \(m_1,\ldots,m_r\)
    Alors il existe un polynôme \(Q\in{\Bbb K[X]}\) tq : $${{P}}={{Q\prod^r_{i=1}(X-\alpha_i)^{m_i} }}$$
    De plus, \(Q\) est tq pour tout \(1\leqslant i\leqslant r\), on a \(Q(\alpha_i)\neq0\)

    Démonstration :





    Corollaire :
    Soit \(P\in{\Bbb K[X]}\) un polynôme de degré \(\leqslant n\)
    Si \(P\) est non nul, alors \(P\) admet au plus \(n\) racines (comptées avec multiplicité)

    Corollaire :
    Soit \(P\in{\Bbb K[X]}\) un polynôme de degré \(\leqslant n\)
    Si \(P\) admet au moins \(n+1\) racines (comptées avec multiplicité), alors \(P\) est le polynôme nul

    (Racine, Degré, Polynôme nul, //Théorème fondamental de l’algèbre)

    Démonstration :


  • Rétroliens :
    • Diagonalisation - Matrice diagonalisable
    • Forme normale de Jordan - Réduction de Jordan
    • Polynôme complexe
    • Racine
    • Sous-espace propre